xy轴上抛物线的知识(抛物线的基本知识和公式)

1.抛物线的基本知识和公式

抛物线的标准方程:y方= 2px (这个是焦点在x轴上的方程)

当p>0 时 开口向右 焦点坐标 (p/2,0) 准线方程x=-p/2

p<0时 开口向左 焦点坐标 (-p/2,0) 准线方程x=p/2

x方= 2py(这个是焦点在y 轴上的方程)

当p>0 时 开口向上 焦点坐标 (0,p/2) 准线方程y=-p/2

p<0 时 开口向下 焦点坐标 (0,-p/2) 准线方程y=p/2

2.抛物线相关的知识

平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。

定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程

右开口抛物线:y^2=2px

左开口抛物线:y^2=-2px

上开口抛物线:y=x^2/2p

下开口抛物线:y=-x^2/2p

3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

离心率:e=1

焦点:(p/2,0)

准线方程l:x=-p/2

顶点:(0,0)

4.它的解析式求法:三点代入法

5.抛物线的光学性质:经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.

抛物线:y = ax* + bx + c

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

a > 0时开口向上

a

3.谁告诉抛物线相关的知识

1 定义:平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。

定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.

2 标准方程

右开口抛物线:y^2=2px

左开口抛物线:y^2=-2px

上开口抛物线:y=x^2/2p

下开口抛物线:y=-x^2/2p

3 其他(以向右开口为例)

离心率:e=1

焦点:(p/2,0)

准线方程l:x=-p/2

顶点:(0,0)

4.有关抛物线的所有知识点

[编辑本段]1、定义 平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。

另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。 定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0. 以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥,可得一个圆,如果倾斜这个平面直至与其一边平行,就可以做一条抛物线。

[编辑本段]2.抛物线的标准方程 右开口抛物线:y^2=2px 左开口抛物线:y^2=-2px 上开口抛物线:y=x^2/2p 下开口抛物线:y=-x^2/2p [编辑本段]3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线) 离心率:e=1 焦点:(p/2,0) 准线方程l:x=-p/2 顶点:(0,0) 通径(定义:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦):2P [编辑本段]4.它的解析式求法: 知道P 带入一点 [编辑本段]5.抛物线的光学性质: 经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴.[编辑本段]6、其他 抛物线:y = ax^2 + bx + c (a=/0) 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x-h)^2 + k 就是y等于a乘以(x-h)的平方+k h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是 :yy0=p(x+x0) 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py [编辑本段]7.用抛物线的对称性解题 我们知道,抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形,它的对称轴是直线x = - b/ 2a ,它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。

例1 已知抛物线的对称轴是x =1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。 分析 设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。

若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。

于是可设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x-3)。又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3 = -3a。

故a =-1。 ∴y = -(x+1)(x-3),即 y = - x2 + 2x +3。

例2 已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点,其顶点的纵坐标为6,求当x =0时y的值。 分析 要求当x =0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可。

由抛物线的对称性可知,A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。由此可知,抛物线的对称轴是x = 1。

故抛物线的顶点是(1,6)。于是可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 6。

因为点(-1,2)在抛物线上,所以4a + 6 = 2。故a = -1。

∴y = -(x-1)2+ 6,即 y = - x2 + 2x +5。 ∴当x =0时,y = 5。

例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为(-1,4),求△ABC的面积。 分析 要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可。

为此,需求出抛物线的解析式。由题设可知,抛物线的对称轴是x = -1。

由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。故可设抛物线的解析式为y = a(x+1)2+ 4[或y = a(x+3)(x-1)]。

∵点(1,0)在抛物线上, ∴4a + 4 = 0。∴a = -1。

∴y = -(x+1)2+ 4,即 y = - x2 - 2x +3。 ∴点C的坐标为(0,3)。

∴S△ABC = 1/2*(4*3)= 6。 例4 已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根,求四边形ABCD的面积。

分析 要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可。为此,要求出抛物线的解析式。

由题设可知,C、D两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)。由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x = 1。

故顶点A的坐标是(1,4)。从而可设抛物线的解析式为y = a(x-1)2+ 4[或y = a(x+1)(x-3)]。

∵点(-1,0)在抛物线上, ∴4a + 4 = 0。故a = -1。

∴y = -(x-1)2+ 4,即 y = - x2 + 2x +3。 ∴点B的坐标为(0,3)。

连结OA ,则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2*1*3+1/2*3*1+1/2*3*4=9 [编辑本段]8.关于抛物线的相关结论 过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有 ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2 ② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2] ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P。

5.初三抛物线关于坐标轴,原点对称有什么知识点

二次函数

⑴定义:

特殊地, 都是二次函数。

⑵图象:抛物线(用描点法画出:先确定顶点、对称轴、开口方向,再对称地描点)。 用配方法变为 ,则顶点为(h,k);对称轴为直线x=h;a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

⑶性质:a>0时,在对称轴左侧…,右侧…;a<0时,在对称轴左侧…,右侧…。

4. 反比例函数

⑴定义: 或xy=k(k≠0)。 ⑵图象:双曲线(两支)—用描点法画出。

⑶性质:①k>0时,图象位于…,y随x…;②k<0时,图象位于…,y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

用待定系数法求解析式(列方程[组]求解)。对求二次函数的解析式,要合理选用一般式或顶点式,并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点,寻找新的点的坐标。如下图:

2.利用图象一次(正比例)函、反比例函数、二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

图形的旋转

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 总结:(1)中心对称是特殊的旋转对称,具有旋转的一切性质,其特殊性在于旋转的角度为180°。 (2)中心对称与轴对称的区别: 中心对称 轴对称 有一个对称中心——点 有一条对称轴——直线 图形绕对称中心旋转180° 图形沿轴折叠 旋转后与另一个图形重合 折叠后与另一个图形重合 (3)中心对称是指两个图形的位置关系,涉及两个图形 2.中心对称的性质: (1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分。 (2)中心对称的两个图形全等。 (3)关于中心对称的两个图形,对称中心在对称点的连线上,对称点到对称中心的距离相等,对应角相等,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 3.找对称中心的方法:(1)连接一对对应点,取对应点连线的中点,即为对称中心。 (2)连接两对对应点,两条对应点连线的交点即为对称中心。 4.中心对称图形:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后能够和原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。 中心对称图形注意点:(1)中心对称图形的对称中心一定在图形的内部。 (2)有些图形既是中心对称图形,也是轴对称图形。 (3)中心对称图形的对称中心平分对称点的连线,所以任意经过对称中心的直线将此图形的面积两等分。 5.中心对称与中心对称图形的区别和联系: 中心对称 中心对称图形 区别 (1)针对2个图形而言 (2)指两个图形的(位置)关系 (3)成中心对称的图形的对称点分别在两个图形上 (1)针对1个图形而言 (2)指该图形所具有的特性 (3)中心对称图形的对称点在一个图形上 联系 把城中心对称的两个图形视为一个整体,则成为中心对称图形。 把中心对称图形的两部分看成两个图形,则它们乘中心对称。 6.关于原点对称的点的坐标的特征: 两个点关于远点对称时,它们的符号正好相反,若p(x,y)关于远点对称的点 p′(—x,—y),关于x轴的对称点(x,—y),关于y轴的对称点(—x,y)。 7.补充:正n边形,n为偶数时,图形是中心对称图形。

xy轴上抛物线的知识

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